Iz osnovne formule k-prostora slijedi kako sliku možemo rekonstruirati ako se na matricu primjeni inverzna Fourierova transformacija.

Neka je X (ω) Fourierova transformacija signala x (t):

Izrazom (10.4 1) dana je Fourierova transformacija ulaznog signala.

Izrazom (10.4 2) dan je izraz za kompleksni logaritam Fourierove transformacije, a izrazom (10.4 3) dana je inverzna Fourierova transformacija kompleksnog logaritma Fourierove transformacije ulaznog signala.

Taj uvjet kontinuiteta također mora vrijediti i za da bi bio valjana Fourierova transformacija.

Ovaj rad je rezultat uvodne diskusije diplomskog rada Brza Fourierova transformacija i primjene studenta S.

Obzirom da je Fourierova transformacija autokorelacije R n (m) jednaka spektru snage S n (e j w) 2 segmenta govornog signala s n (m) i obzirom da se Fourier-ovom transformacijom autokorelacije impulsnog odziva sustava h (m) dobiva kvadrat amplitudno frekvencijske karakteristike sustava H (e j w) 2, ekvivalencija u vremenskoj domeni se može zapisati i u frekvencijskoj domeni kao:

Danas su Fourierove teorije dalje razvijene; među njima je najvažnija diskretna Fourierova transformacija (DFT) i algoritam za brzo i efikasno izračunavanje DFT-a u O (n \ log n) vremenu - brza Fourierova transformacija (FFT), koja je temelj velikog dijela modernih multimedijskih primjena (MP3, JPEG).

Ako imamo diskretan skup kompleksnih brojeva (koji smo mogli dobiti i uzorkovanjem funkcije na nekom intervalu), Fourierova transformacija koja je definirana za kontinuiran skup nam ne odgovara.

Jednako tako, Fourierova transformacija ima puno svojstava koja olakšavaju analiziranje funkcije - signala (vidi [ 1 ], [ 5 ]).

Rješenje 3. Fourierova transformacija ove funkcije dobiva se preko već opisane formule:

U svakome se slučaju kao referentna metoda smatra samo Fourierova transformacija.

Fourierova transformacija i analiza biti će objašnjene kao važan alat u obradi signala.

Na sličan način odredi se i diskretna Fourierova transformacija odziva diskretnog sustava na Diracovu pobudu:

Ukoliko nam je poznat frekvencijski spektar (Fourierova transformacija) ulaznog signala E (jω), frekvencijski spektar (Fourierovu transformaciju) izlaznog signala jednostavno izračunamo produktom U (jω) = G C (jω) E (jω).

Treba naglasiti da je u okviru dosadašnjih razmatranja pretpostavljeno da se izračunavanje koeficijenata prediktora provodi autokorelacijskim LPC postupkom, jer je samo u tom slučaju Fourierova transformacija vremenski kratkotrajne autokorelacijske funkcije signala jednaka kvadratu amplitude vremenski kratkotrajne Fourierove transformacije promatranog segmenta govornog signala.

Iako je Fourierova transformacija proizašla kao rezultat proučavanja Fourierova reda, u današnjoj literaturi često se servira kao gotov alat i vrlo je teško shvatiti iz same formule Fourierove transformacije motivaciju za njeno nastajanje.

Domagoj Matijević s Odjela za Matematiku Sveučilišta u Osijeku i Stjepan Poljak, student s iste institucije, autori su članka Fourierov red i Fourierova transformacija (verzija), u kojem objašnjavaju kako svaku periodičku funkciju možemo napisati kao sumu (ne nužno konačnu) sinusa različitih amplituda, faza i frekvencija Fourierov red, te daju motivaciju za formulu za Fourierovu transformaciju preko Fourierova reda te objašnjavajui formulu za diskretnu Fourierovu transformaciju.

Sam oblik funkcije g (n) i nije tako kritičan tako dugo dok njegova Fourierova transformacija ima željena svojstva, tj. ima oblik prijenosne funkcije niskopropusnog filtra.

Uporabom samo jednog lasera i matematičke metode zvane Fourierova transformacija, istraživači su uspjeli poslati 26 terabita podataka kroz optičko vlakno u samo jednoj sekundi.

U današnjoj se literaturi Fourierova transformacija najčešće prezentira čitatelju kao cjelovit samostalan izraz te se rijetko motivira čitatelja da shvati kako je sam izraz nastao (vidi [ 1 ], [ 3 ], [ 2 ]).

Fourierov red, a posebice Fourierova transformacija u današnje su vrijeme jedan od najčešće korištenih matematičkih alata, a time i predmet brojnih šala na račun matematičara i inženjera (vidi sliku 5).

Mjeri se brzina izvođenja množenja vektora, 2 - D brza Fourierova transformacija, rješavanje Poissonove jednadžbe i slično

Dosad sam otkrio da mi za signal ne treba Fourierova transformacija, jer radim s diskretnim signalima i treba mi samo DFT iliti diskretna Fourierova transformacija koja pak nema integrale nad kompleksnim brojevima i koje sam zadnji put rješavao devedeset i neke.... So far, so good.

Fourierova transformacija na vremenskom otvoru (STFT).

Prema tome, i dvodimenzionalna Fourierova transformacija ove funkcije je takode (kompleksna) funkcija dvije varijable A (u, v).

Štoviše, s obzirom da je Fourierova transformacija kompleksna funkcija, nju je moguce promatrati kao dvije realne funkcije, jednu koja predstavlja amplitudu i drugu koja predstavlja fazu Fourierove transformacije.

Odnosno, treba li nam baš nužno fourierova transformacija za sve?

Fourierova transformacija na vremenskom otvoru (STFT).