Neke od tih nula se mogu nalaziti i izvan jedinične kružnice, ali zbog razloga stabilnosti svi polovi c k moraju biti unutar kružnice.

Kod diskretnih sustava biti će stabilan za sve vrijednosti pojačanja K za koje su polovi unutar jedinične kružnice.

Kao što je već prije navedeno, za autokorelacijsku metodu sve nule A (z) uvijek leže unutar jedinične kružnice - dakle, H (z) je garantirano stabilan.

U skladu s prethodnim razmatranjem jasno nam je da se polovi na lijevoj strani s ravnine preslikavaju unutar jedinične kružnice z ravnine, a polovi na desnoj strani s ravnine izvan jedinične kružnice z ravnine.

Za polove unutar jedinične kružnice odziv brže ili sporije teži nuli ovisno o položaju pola.

Za pol u točki z = 1 imamo stalnu sekvencu (ovaj pol odgovara polu u ishodištu s ravnine koji definira integracijsko ponašanje, a integral Diracove pobude je jedinični skok), a za polove izvan jedinične kružnice imamo rastuću sekvencu.

Sekvenca je za polove unutar jedinične kružnice prigušena, za polove izvan nje raspirujuća, a na jediničnoj kružnici imamo konstantnu sekvencu.

Ta promjena može uzrokovati izlazak pojedinih polova van jedinične kružnice, tj. nestabilnost LPC filtra.

Sustav je stabilan jer se svi polovi nalaze unutar jedinične kružnice.

Polovi smješteni blizu jedinične kružnice imaju veliki Q faktor i daju izražene maksimume u prijenosnoj funkciji, tj. odgovaraju uskim formantima.

Ukoliko postoje nestabilni polovi impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje izvan jedinične kružnice, tada će zatvoreni diskretni regulacijski sustav biti stabilan ukoliko zatvorena Nyquistova krivulja obilazi u smjeru suprotnom od kazaljke sata točku - 1 j0 onoliko puta koliko postoji polova izvan jedinične kružnice

Može se dogoditi da se korijeni karakteristične jednadžbe koji su izvan jedinične kružnice ponište nulama, pa bi sustav bio BIBO stabilan, ali ne bi bio asimptotski stabilan zato što ona zahtijeva da svi korijeni karakteristične jednadžbe uključivo i ove poništene budu unutar jedinične kružnice.

Sustav je stabilan, kako smo i zaključili iz njegovog vremenskog odziva, zato što impulsna prijenosna funkcija nema polova izvan jedinične kružnice, a zatvorena Nyquistova krivulja ne obilazi točku - 1 j0. Granica stabilnosti je kada Nyquistov dijagram upravo prolazi kroz točku - 1 j0, a to će se dogoditi ukoliko udvostručimo konstantu pojačanja K.

Oni se u z ravnini preslikavaju isto tako kao konjugirano kompleksni polovi unutar jedinične kružnice u I i IV kvadrantu.

Kako nas polovi izvan jedinične kružnice u biti ne zanimaju, za polove unutar jedinične kružnice dobivene rezultate možemo poopćiti.

On se u z ravnini preslikava u radijus jedinične kružnice.

Za ω P manji od ω s/2 raditi će se o radijusima koji s realnom osi zatvaraju kut različit od 0. Na primjer tražimo li područja u s i z ravnini u kojima je prigušena frekvencija manja ili jednaka ω s/3 u s ravnini to će biti područje unutar osnovnog pojasa, a u z ravnini isječak jedinične kružnice kod kojega je na rubnim područjima argument 2 π/3 (zato što je na primjer za pol u II kvadrantu na.

U slučaju korištenja LPC postupaka kod kojeg stabilnost nije garantirana, potrebno je odrediti polove sustava H (z) i provjeriti da li se svi polovi nalaze unutar jedinične kružnice.

Takvim postupkom dobiva se sustav H ' (z) s jednakom amplitudno frekvencijskom karakteristikom kao i sustav H (z), ali kod kojeg su svi polovi unutar jedinične kružnice.

Ovaj uvjet za parametre k i je važan jer predstavlja nužan i dovoljan uvjet da svi korijeni polinoma A (z) budu unutar jedinične kružnice čime se osigurava stabilnost sustava H (z).

gdje je n broj točaka unutar jedinične kružnice, a i ukupan broj odabranih točaka.

Uzmimo za primjer da imamo sustav koji ima dva pola više nego što ima nula i da su mu svi polovi i nule unutar jedinične kružnice.

Sa slike je uočljivo i to da je za stabilne sustave kod kojih impulsna prijenosna funkcija otvorene petlje nema polove izvan jedinične kružnice, frekvencija kritične (jedinične) amplitude uvijek manja od frekvencije kritične faze (ω I ω π).

Povijesno gledajući, pristup trigonometriji preko trokuta je mnogo stariji (još iz stare Grčke) nego pristup preko jedinične kružnice (iz 18. st.), iako se u školama prvi dodir s trigonometrijom događa baš preko jedinične kružnice.

Odziv sustava će težiti nuli kada k teži u beskonačno onda i samo onda ako za sve polove vrijedi nejednakost p i 1 što znači da svi polovi trebaju biti unutar jedinične kružnice.

Kazali smo da je zatvoreni diskretni regulacijski sustav nestabilan za one vrijednosti pojačanja K za koje GMK izlazi izvan jedinične kružnice.

A što je s polovima unutar jedinične kružnice?

Položaj kompleksnih polovi unutar jedinične kružnice koji imaju konstantni ζ i konstantan ω n prikazan je na slici 4.5.5. ω n je iskazan kao funkcija kružne frekvencije uzimanja uzoraka ω S.

Kod Eulerove metode lijevi dio s ravnine se prebaci u lijevi dio bilinearne z ravnine, kod povratne diferencije lijevi dio s ravnine se prebaci u malu kružnicu unutar jedinične kružnice, a kod Tustinove transformacije lijevi dio s ravnine se prebaci u jediničnu kružnicu bilinearne z ravnine s tim da je preslikavanje jednoznačno (sjetimo se kod Z - transformacije preslikavanje nije jednoznačno u jediničnu se kružnicu z ravnine preslika osnovni pojas s ravnine i svi pojasevi paralelni s njim).

što je jednadžba jedinične kružnice u z ravnini sa središtem u ishodištu.