Za razliku od skupova i koji su diskretni, skup je gust, odnosno između svaka dva različita racionalna broja nalazi se beskonačno mnogo racionalnih brojeva.

Može se pokazati da iz svojstava (i) - (v) slijedi da je npr. \ mu (\ mathbb Q) = 0, pa kažemo da je skup racionalnih brojeva skup mjere nula.

Npr. u skupu cijelih brojeva ne postoji broj koji pomnožen sa 2 daje 5, ali takav broj postoji u skupu racionalnih brojeva.

Ako kubna jednadžba \ [ x ^ 3 a_ 2 x ^ 2 a_ 1 x a_ 0 = 0 \ ] s racionalnim koeficijentima nema ni jedno racionalno rješenje, onda ni jedno njeno rješenje nije konstruktibilno iz racionalnih brojeva.

Ovdje pojašnjavamo: 1. kako to da za oduzimanje racionalnih brojeva možemo reći da je zbrajanje, 2. kako zbrajamo (oduzimamo) razlomke sa cijelim, mješovitim i decimalnim brojevima - jednostavniji zadaci u kojima nemamo puno posla s predznacima, ali opet moramo znati pravila za zbrajanje brojeva jednakih/različitih predznaka, 3. kako zbrajamo (oduzimamo) decimalne brojeve, bez pretvaranja u razlomke, i u slučajevima kad se pojavljuju negativni decimalni brojevi, 4. složeniji slučajevi iz zbrajanja racionalnih brojeva - zavrzlame s predznacima.

Poznati Cantorov teorem o uređajnoj karakteristici skupa racionalnih brojeva govori nam kako teorija gustih potpunih uređaja bez krajnjih točaka, DLO, ima točno jedan prebrojiv model.

Skup racionalnih brojeva je skup svih klasa ekvivalencije na skupu, odnosno

označava skup svih racionalnih brojeva (tj. skup svih pravih i nepravih razlomaka).

Inače, jedna od poznatijih " back-and-forth " konstrukcija je dokaz teorema o uređajnoj karakteristici skupa racionalnih brojeva, čiji se dokaz može naći u [ V2 ].

S novim smislom života, počela je pisati doktorat na Berkeleyju (mentor joj je bio Alfred Tarski, poznati poljski logičar), a disertacija se bavila dokazom nerješivosti jednadžbi na polju racionalnih brojeva.

U ovom poglavlju definirat ćemo skup racionalnih brojeva te dati osnovna svojstva tog skupa.

Kada bi ova konstrukcija bila rješiva, tada bi gornja jednadžba morala imati jedno iz racionalnih brojeva konstruktibilno rješenje.

Prema teoremu koji kaže da kubna jednadžba \ (x ^ 3 a_2x ^ 2 a_1x a_0 = 0 \) s racionalnim koeficijentima nema ni jedno racionalno rješenje, slijedi da ni jedno njeno rješenje nije konstruktibilno iz racionalnih brojeva ", pa bi tada jednadžba \ (y ^ 3 - 3 y 1 = 0 \) morala imati barem jedno racionalno rješenje.

Zatim je pokazao i da skup racionalnih brojeva ima isto toliko elemenata, pa onda i da skup svih algebarskih brojeva također ima jednako mnogo elemenata kao skup prirodnih brojeva.

Zato se i skup racionalnih brojeva označava slovom Q (prvo slovo lat. quotiens: kvocijent).

Ako se usredotočimo samo na kvadratna proširenja polja racionalnih brojeva, a nije teško uvidjeti da su to polja K: = Q (d) gdje su d cijeli brojevi slobodni od kvadrata (tj. koji su prosti, umnošci različitih prostih ili broj 1; također, drugi korijen gledamo u kompleksnom području i smatramo da smo izabrali jednu od dviju mogućih vrijednosti od d), prvo se postavlja pitanje koje je prstene A analogne prstenu cijelih brojeva potrebno razmatrati.

Kad su u pitanju realni brojevi, dva su najčešće spominjana načina na koji ih se može konstruirati od racionalnih brojeva: Dedekindovi rezovi i Cantorova konstrukcija s pomoću Cauchyjevih nizova.

Skup racionalnih brojeva uveden je zato što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva.

Zar nije priznavanje da postoji ' niz racionalnih brojeva koji zadovoljava Cauchyjev kriterij ' upravo uvođenje aktualne beskonačnosti?

Skup realnih brojeva je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva.

Članovi projekta, u suradnji s vodećim međunarodnim stručnjacima iz polja diofantskih jednadžbi i eliptičkih krivulja, radit će na sljedećim temama: dokaz slutnje o nepostojanju Diofantovih petorki; Diofantove m-torke u kvadratnim i funkcijskim poljima; asimptotske ocjene za broj D (n) - trojki; najbolje moguće gornje ograde za veličinu D (- 1) i D (4) - m-torki; rezultati o nedekompozabilnosti polinoma s primjenama na polinomijalne diofantske jednadžbe; konstrukcija (zasnovana na tvistovima eliptičkih krivulja) beskonačno mnogo racionalnih D (q) - petorki za široku klasu racionalnih brojeva q; rješenje nekih parametarskih familija Thueovih jednadžbi nad funkcijskim poljima; nalaženje svih cjelobrojnih točaka na nekim familijama eliptičkih krivulja; konstrukcija eliptičkih krivulja nad Q s velikim rangom i zadanom torzijskom grupom; primjena rezultata iz diofantskih aproksimacija u kriptoanalizi nekih kriptosustava s javnim ključem.

Kad su te temperature poredane od najmanje do najveće (uspoređivanje racionalnih brojeva) pitanje je bilo u koju državu spada koji grad.

Skup racionalnih brojeva je skup svih klasa ekvivalencije na skupu x, odnosno = m/n: m, n.

Dok su skupovi prirodnih i cijelih brojeva diskretni, skup racionalnih brojeva je gust (između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Realni brojevi su definisani kao podskupovi racionalnih brojeva.

Stehiometrijski koeficijenti moraju biti prirodni (premda će se nekad naći i racionalnih brojeva), međusobno prosti (najveći zajednički djelitelj svih stehiometrijskih koeficijenata mora biti jedan) i takvi da ukupan broj istovrsnih atomâ na jednoj i drugoj strani bude jednak.

Realni broj je, kaže se, svaki takav niz racionalnih brojeva koji zadovoljava Cauchyjev kriterij.

Pa rekao sam, tako što ćeš realnim brojem držati algoritam koji definira taj niz racionalnih brojeva.

Da, ali u standardnoj teoriji matematike, npr. koncept ' niz racionalnih brojeva ' sadrži barem tri poziva na egzistenciju aktualne beskonačnosti.

Osim toga, p-adic brojevi proširuju uobičajenu aritmetiku racionalnih brojeva na drugi način u odnosu na proširenje racionalnih brojeva do realnih i kompleksnih.