U raspravi De continuitatis lege (O zakonu neprekinutosti), objavljenoj 1754., poštujući prednost prirodnih brojeva barem u formalnom smislu, istaknuo je i neprekidnost realnih brojeva, pa čak i obostrano jednoznačnu korespondenciju skupa realnih brojeva i geometrijskog linearnog kontinuuma točaka.

Skup realnih brojeva označava se slovom R, jer je to prvo slovo riječi realan.

Dakle, na dan א stvoreni su svi brojevi iz skupa realnih brojeva R.

To je broj veći od 0 i manji od svih pozitivnih realnih brojeva

Nad skupom približnih brojeva definiramo aritmetičke operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja na isti način kao i u skupu realnih brojeva, uz dodatna pravila:

Ova glava kao i sljedeća o derivacijama, posvećene su ispitivanju realnih funkcija realne varijable, dakle funkcije kod kojih su domena, i kodomena podskupovi skupa realnih brojeva.

Na dan א stvoren je još jedan broj koji ne pripada skupu realnih brojeva: ω = 1, 2, 3, 4, 5,... Ø.

Za podskup skupa realnih brojeva S kažemo da je ograničen ako postoje m, M takvi da je m x M, za svaki x S.

Veliki filozof i matematičar René Descartes (1596. - 1650.) u povijesti matematike najpoznatiji je po svom otkriću analitičke geometrije, točnije mogućnosti da točke ravnine prikazujemo kao uređene parove realnih brojeva, što omogućuje algebarski pristup geometrijskim problemima.

skup je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva;

To znači da vrijeme t također pripada podskupu T skupa realnih brojeva:

Pretpostavimo da je kontinuirani signal mjerljiv, te da mu se funkcijska vrijednost (amplituda) može iskazati brojčanom vrijednošću y koja pripada podskupu Y skupa realnih brojeva.

Ne kažem da postojanje realnih brojeva dokazuje da je prostor kontinuiran jer bi to bilo u tvom stilu gdje je tebi tvoje neznanje i tvoja nemogućnost opisa nečega dokaz da to i ne postoji.

Tada za svaki \ vec x \ in \ mathbb R ^ 3 postoji jedinstvena trojka realnih brojeva (x_ 1, x_ 2, x_ 3) takva da je \ vec x = x_ 1 \ vec e_ 1 x_ 2 \ vec e_ 2 x_ 3 \ vec e_ 3.

No, kako imamo sreću da vrijedi komutativnost množenja realnih brojeva, brojeve koje množimo nazivamo jednostavno faktorima.

Jedan od spektakularnijih primjera neizračunljivih realnih brojeva svakako je Chaitinova konstanta Ω.

Računske operacije na skupu realnih brojeva definirane su na poznati način te za njih vrijede svojstva slično kao u teoremu 1.3.

Kao da se svi boje realnih brojeva?

Postavilo se prirodno pitanje ima li i realnih brojeva jednako mnogo kao prirodnih tj. je li skup R prebrojiv?

Sve je počelo Cantorovim pokušajima da precizno opiše skup realnih brojeva.

13.06.2011. 15:10 Državna matura - drugi put (by Branimir Dakić) Dragi čitatelji, pogledajte molim vas ove zadačiće: Koji je skup realnih brojeva zadan nejednadžbama x 3. Ako je s = 1/2 at2, čemu je jednako a?

René Descartes (1596 1650) uveo je Kartezijev koordinatni sustav, tj. bijekciju između skupa točaka euklidskog prostora i skupa trojki realnih brojeva, tzv. koordinata.

Jedno od osnovnih svojstava skupa realnih brojeva jest da svaki njegov ograničen podskup ima infimum i supremum (to je tzv. aksiom potpunosti).

U skupu realnih brojeva možemo kvadratni korijen računati samo iz nenegativnih brojeva.

Novi algoritam pogodan je prije svega za rješavanje polinomnih sustava, a najizrazitija prednost mu je izravno pronalaženje najbolje točke u smjeru (na pravcu) pretraživanja u cijelom skupu realnih brojeva, bez obzira na reljef prostora između trenutačne i najbolje točke.

U ovom poglavlju definirat ćemo niz realnih brojeva, osnovne tipove nizova, limes niza, odnosno konvergenciju niza, dokazati jedinstvenost limesa te dati nekoliko primjera.

Definicija 6.1 Niz realnih brojeva (kraće niz) je svaka funkcija.

Cantor je dokazao egzistenciju transcendentnih brojeva tako što je pokazao da skup realnih brojeva nije prebrojiv skup, za razliku od skupa koji se sastoji od svih algebarskih brojeva, a koji jest prebrojiv.

Taj egzistencijalni dokaz zasniva se na tome da pretpostavka o prebrojivosti skupa realnih brojeva vodi na kontradikciju.

Dan je određeni algoritam, ta-i-ta pravila koja u svakom koraku jednoznačno određuju kako nastaviti s konstrukcijom. (Dijagonalnu konstrukciju možemo promatrati kao algoritam višeg reda, algoritam na proizvoljnom algoritmu brojanja realnih brojeva.) Za svaki n, tako konstruiran broj razlikovat će se od svih realnih brojeva pridruženih prirodnim brojevima manjima ili jadnakima n.